隐马尔可夫模型（五）——隐马尔可夫模型的解码问题(维特比算法）（转载）

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• HMM解码问题
• 维特比算法
• 时间复杂度
• 程序例证

HMM解码问题

      给定一个观察序列O=O₁O₂...O_T,和模型μ=（A,B,π），如何快速有效地选择在一定意义下“最优”的状态序列Q=q₁q₂...q_T，使该状态最好地解释观察序列。

      一种想法是求出每个状态的概率r_t(i)最大(r_t(i)=P(qt=si,O|μ）)，记q‘_t(i)=arg_Qmax(r_t(i))，但是这样做，忽略了状态之间的关系，很可能两个状态之间的概率为0，即a_{q‘t(i)q‘t+1(i)}=0,这样求得的“最优”状态序列是不合法的。

      为防止状态之间转移概率为0（断续问题），换一种思路，不是求单个状态求得最大值，而是求得整个状态序列最大值，即求

                                   Q‘= arg_QmaxP(Q|O,μ）

      此时用维特比算法，先定义下维特比变量δt(i):在时间t，HMM沿着一条路径到达状态si，并输出观察序列O=O₁O₂...O_t的最大概率:

　　      δ_t(i)=max P(q₁q₂...q_t=s_i,O₁O₂...O_t|μ)

                            t                      t+1

      上图中，对于从t时刻三个到 t+1时刻的状态1，到底取状态1,2还是3，不是看单独状态1,2还是3的概率，而是看在状态1,2,3各自的维特比变量值乘以相应的状态转换概率，从中选出最大值，假设2时最大，那么记下t+1时刻状态1之前的路径是t时刻的状态2，以此类推。

      δ_t(i)的递归关系式: δ_t+1(i)=max_j δ_t(j)*a_ji*b_i(O_t+1),为了记忆路径，定义路径变量ψ_t(i)，记录该路径上的状态s_i的前一个状态。

维特比算法

      step1 初始化：

              δ_t(i) = π_i*b_i(O₁), 1≤i≤N

              ψ_t(i) = 0

      step2 归纳计算：

　　　　  δ_t(i)=max_1≤j≤N δ_t-1(j)*a_ji*b_i(O_t),2≤t≤T;1≤i≤N

             记忆路径   ψ_t(i) = arg [max_1≤j≤Nδ_t-1(j)*a_ji*b_i(O_t)]

      step3 终结:

            Q_T‘ = arg max_1≤i≤N [δ_T(i)]

            P‘(Q_T‘) = max_1≤i≤N [δ_T(i)]

　　 step4 路径回溯:

             q

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